Richmond nasceu na cidade de Nova York, mas foi criado na Virginia e na Califórnia. Ele é filho de Brenda Denaut, uma atriz e poeta e do ator Lewis Arquette. Seu avô paterno, foi o comediante Cliff Arquette. A mãe de Richmond era Judia e filha de um refugiado do holocauto na Polônia. Seu pai se converteu ao Islã e era descendente do explorador Meriwether Lewis. Richmond é irmão dos também atores, Patricia Arquette, Rosanna Arquette, Alexis Arquette e David Arquette. Ele é também ex-cunhado da atriz Courteney Cox e do ator Thomas Jane.

Pais: Lewis Arquette, Brenda Denaut
Irmãos: Alexis Arquette, David Arquette, Patricia Arquette, Rosanna Arquette
Sobrinho: Enzo Rossi, Charlie West Arquette
Sobrinha: Coco Arquette, Zoe Sidel, Harlow Olivia Calliope Jane