Lior estudou atuação na Escola de Arte Ben Zvi. Começou a atuar nos teatros Beersheva e Habima após se formar em 1994. Desempenhou papéis principais em diversas peças sob a direção de Zipi Pines, no Teatro Beit Lessin. Também atuou brevemente no Teatro Cameri, em Tel Aviv. O papel que lhe trouxe maior fama foi em "Casamento Tardio", com Ronit Elkabetz, em 2001. Recebeu muitos elogios por seu papel em "Hearat Shulayim / Nota de Rodapé", o filme que rendeu a Joseph Cedar o prêmio de Melhor Roteiro em Cannes em 2011. Foi duas vezes indicado e premiado como Melhor Ator na Academia de Cinema de Israel por suas atuações nesses dois filmes.
Ele coestrelou com o ator Richard Gere no filme "Norman" em 2016. Ashkenazi recebeu o Prêmio Ophir de Melhor Ator por sua atuação no filme "Foxtrot", de 2017. O filme participou da 90ª edição do Oscar na categoria Melhor Filme Estrangeiro. Em novembro de 2018, Ashkenazi estrelou a peça "Tempestade", de William Shakespeare. A produção desta peça foi coproduzida pelo Old Globe Theatre e pela Orquestra Filarmônica de Los Angeles. Ele interpretou o ex-primeiro-ministro israelense Yitshak Rabin no filme "7 Dias em Entebbe", em 2018. Ele também continua a se apresentar em programas de humor na TV.
Ashkenazi casou-se primeiro com Shira Farber, com quem teve uma filha. Ele tem outra filha, nascida em 2012, de seu segundo casamento (dezembro de 2011) com a produtora Maya Amsellem.
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