Foi um roteirista, diretor e produtor de cinema inglês. Frequentou a Universidade de Cambridge, onde se tornou o presidente do Liberal Club e o Cambridge Union Society.
Mudou-se para a Califórnia em 1940 e foi trabalhar na The Walt Disney Company, onde dirigiu mais de 19 filmes. Entretanto, Robert Stevenson é mais lembrado por dirigir a atriz Julie Andrews no filme musical Mary Poppins (1964), pelo qual Andrews ganhou o Oscar de melhor atriz e Stevenson recebeu uma indicação Oscar de melhor diretor.

Filhos: Venetia Stevenson, Caroline Stevenson, Hugh Howard Stevenson
Cônjuge: Frances Howard (desde 1944), Anna Lee (de 1934 a 1944), Ursula Henderson (a 1986), Cecilie Stevenson (a 1934)